Урок №13 (20.04.2000)
Центр инерции и момент инерции для системы материальных точек.

0.                  Решение задачи из домашней работы

Найти ускорение клина на рис. Масса груза , масса клина , угол при основании клина . Трения нет.

Решение.

Сначала проведём оси координат, как показано на рисунке, в нашей системе отсчета. Будем считать, что лабораторная система инерциальная.

Нарисуем все силы, действующие в системе. На груз действуют три силы: сила тяжести , направленная вниз, сила со стороны нити, равная силе натяжения нити  (по третьему закону Ньютона) и сила реакции опоры  со стороны клина, направленная перпендикулярно клину. На нить со стороны груза, блока и стены действуют силы, равные по величине силе натяжения нити  (т.к. нить невесома). На клин действуют вес груза , равный по третьему закону Ньютона силе , вес со стороны нити, давящей на блок, равный по величине векторной сумме двух сил натяжения  (показано на рисунке), а также силы тяжести и реакции опоры со стороны стола, которые нам не интересны.

Пусть груз и клин движутся, соответственно, с ускорениями  и , как показано на рисунке. Т.к. нас интересует только ускорение клина, а оно, очевидно, направлено горизонтально, будем рассматривать только проекции на ось  сил, действующих на клин.

Рассмотрим вес нити, действующей на блок. Из рисунка видно, что их векторная сумма будет диагональю в ромбе, с углом . А проекция этой суммы на ось  это сила , равная , т.е. .

Найдем теперь кинематическую связь между движением груза и клина. Из рисунка видно, что из условия, что нить нерастяжима следует, что ускорение клина по оси  будет равно ускорению груза вдоль клина (т.е. ). Рассмотрим ускорение груза по осям: это будет проекция на оси векторной суммы , то есть, как видно из рисунка, , .

Теперь у нас достаточно данных, чтобы составить систему уравнений:

                    

подставляя вместо  и  их значения через  (т.к. именно  мы ищем) и заменяя  на  и  на его выражение через  получаем:

                    

Выражая  из последнего выражения и подставляя его в остальные два получим:

                     ,

откуда, учитывая, что , получаем:

                     ,

                    

                    

                    

                     .                                                                          ▄

1.                  Система материальных точек

Систему материальных точек можно рассматривать двояко: микроскопически, т.е. рассматривая каждую точку как физическое тело, характеризуемое тремя параметрами: массой, радиус-вектором и вектором скорости; макроскопически – т.е. рассматривая систему как единое тело (ведь, вспоминая, что все тела состоят из атомов, любое тело можно считать системой материальных точек).

Вопрос: какими параметрами характеризуется СМТ, если мы её рассматриваем как единое целое? Первый параметр очевиден – масса. Но как быть с положением и скоростью?

Вспомним, что произвольное движение тела можно представить в виде комбинации поступательного и вращательного движений. При этом ось вращения проходит через точку, называющуюся центром масс тела (если, естественно, на тело не действуют внешние силы, заставляющие его двигаться вокруг совершенно другой точки).

2.                  Центр масс

Можно показать, что положение центра масс СМТ определяется выражением:

,

где  – радиус-вектора материальных точек, входящих в нашу систему,  – их массы,  – радиус-вектор центра масс.

Центр масс (ц.м.) любой системы обладает одним очень важным свойством: он ведет себя так же, как вела бы себя материальная точка с той же массой, что и масса нашей системы, на которую действует равнодействующая всех сил, действующих на тело. Например, брошенный гаечный ключ участвует в сложном движении: он летит в двух координатах в поле тяжести Земли и одновременно вращается вокруг своей оси. Однако его центр инерции движется по параболе, как и положено материальной точке в поле тяжести.