Урок №14 (27.04.2000)
Центр инерции и момент инерции для системы материальных точек.

1.                  Центр масс

Можно показать, что положение центра масс СМТ определяется выражением:

,

где  – радиус-вектора материальных точек, входящих в нашу систему,  – их массы,  – радиус-вектор центра масс.

Центр масс (ц.м.) любой системы обладает одним очень важным свойством: он ведет себя так же, как вела бы себя материальная точка с той же массой, что и масса нашей системы, на которую действует равнодействующая всех сил, действующих на тело. Например, брошенный гаечный ключ участвует в сложном движении: он летит в двух координатах в поле тяжести Земли и одновременно вращается вокруг своей оси. Однако его центр инерции движется по параболе, как и положено материальной точке в поле тяжести.

Из предыдущего параграфа следует важное свойство ц.м.: если у нас имеется система тел (или множество систем материальных точек) для которых известны центры масс, то каждое из этих тел (систем материальных точек) мы можем рассматривать как одну материальную точку суммарной массы, помещенную в соответствующий ц.м. Тогда полный ц.м. всей системы можно искать уже для этих материальных точек.

Иными словами, если нам известны центры масс подсистем , , , ..., то полный центр масс системы определяется по формуле: , где  – массы подсистем.

Докажем это свойство. По определению

                    

                    

                    

                    

                    

                    

Задача. Из массивного круглого диска вырезали диск половинного радиуса, как показано на рисунке. Найти центр масс получившейся фигуры, если известно, что центр масс диска расположен в его геометрическом центре.

Решение.

Обозначим через  – радиус-вектор центра диска, а через  – радиус-вектор центра вырезанного отверстия. Заметим, что фигура, показанная на рисунке, совместно с вырезанным маленьким диском составляют большой диск, т.е. могут рассматриваться как подсистемы в сформулированном ранее свойстве центра масс.

Пусть масса большого диска равна . Тогда масса вырезанной части равна , а масса фигуры, изображенной на рисунке – . Поместим систему координат для простоты таким образом, чтобы ее центр совпал с центром большого цилиндра (), а ось  проходила через центр малого. По выведенной ранее формуле имеем:

,

где  – искомый радиус-вектор. Подставляя в формулу , получаем:

т.е. искомый центр масс находится на одну треть радиуса большого круга влево (по рисунку).        

                                                                                                                                        n

2.                  Момент инерции

Разобрав, что такое центр масс, мы выяснили поведение СМТ в поступательном движении. Но вспомним, что произвольное движение СМТ раскладывается на поступательное движение центра масс и вращательное движение СМТ относительно оси, проходящей через центр масс.

Какими параметрами характеризуется вращательное движение? Очевидно, угловая скорость , далее, как мы увидим далее – моментом сил, приложенных к СМТ , и, наконец, моментом инерции, который определяется как

.

Момент инерции, как и следует из названия, характеризует инертность тела во вращательном движении, т.е. играет роль массы в динамике вращательного движения. Это скалярная величина: действительно, по определению  – скалярная величина и, следовательно,  – тоже скаляр.

Теорема Штейнера. Пусть момент инерции тела относительно оси , проходящей через центр масс , равен . Тогда момент инерции тела относительно оси , находящейся на расстоянии  от центра масс будет равен .

Доказательство.

Рассмотрим произвольное тело с центром масс в точке , как изображено на рисунке. Разобьем это тело на множество маленьких кубиков, размерами которых можно пренебречь. Тогда момент инерции тела относительно некоторой оси  по определению будет равен

Теперь у нас под знаком суммы выражение из трех слагаемых. Запишем их как три суммы:

  (*)

Здесь мы воспользовались тем, что по определению , а . Заметим теперь, что т.к. ось  проходит через центр инерции, то . Но по определению , следовательно, в формуле (*) среднее слагаемое обращается в ноль. В итоге получаем утверждение теоремы:

.