Урок №9 (15.03.2006)
Теплоёмкость газа в различных процессах.

1.                  Зачем все это нужно?

Вспомним еще раз: для того, чтобы что-нибудь заставить совершать работу, это что-то надо заставить двигаться.

Газ в этом смысле штука весьма удобная: если его нагреть, – он расширяется. Т.е. если мы хотим заставить газ совершать работу, надо научиться «заставлять» газ совершать полезную работу (например, расширяясь), а затем возвращать его в исходное (сжатое в нашем случае) состояние, затрачивая меньшую работу. Тогда, сжигая топливо, мы будем получать на выходе некую полезную работу.

Наконец договоримся, что все манипуляции с газом, которые мы будем совершать в попытках заставить газ работать, должны приводить в конечном итоге к начальному состоянию газа. Т.е. мы будем рассматривать замкнутые циклы. В этом случае система в конце вернется в исходное состояние, далее сможет еще раз повторить цикл и так далее, до тех пор, пока не сломается. Для того, чтобы все вывести, сначала надо научиться находить теплоемкость газа в различных процессах…

2.                  Теплоемкость газа в различных процессах.

Вспомним определение теплоемкости: это теплота (энергия), которую надо передать телу или газу, для того, чтобы нагреть его на один градус. Более точно, это отношение тепла, переданного телу, к увеличению температуры тела:

.

В случае, когда эта величина непостоянна (т.е. зависимость  от  нелинейная), приращения берут очень малыми (даже бесконечно малыми), а определение записывают так:

.

Различают еще две теплоемкости: удельная теплоемкость – теплоемкость единицы массы вещества и молярная теплоемкость – теплоемкость одного моля вещества. Очевидно, что для того, чтобы получить полную теплоемкость, надо удельную теплоемкость умножить на массу вещества, а молярную – на количество молей. Мы, если это не оговорено особо, будем работать с молярной теплоемкостью и обозначать её буковкой .

Твердые тела и жидкости при нагревании практически не меняют своего объема, поэтому вся переданная им в виде теплоты энергия идет на увеличение их внутренней энергии, а следовательно температуры. Поэтому теплоемкости твердых веществ и жидкостей есть величины «табличные», их можно найти в справочнике.

Совсем другая ситуация с газами. Энергия, переданная газу в виде теплоты, может пойти как на увеличение внутренней энергии раза, так и в работу, которую совершает газ (кстати, это первое начало термодинамики!).

Поэтому теплоёмкость газа в разных процессах может быть самой разной, от  до !

Крайние случаи – самые простые:

Теплоемкость в изотермическом процессе: .

По определению . Действительно, мы «запихиваем» в газ энергию, в виде теплоты, а он не нагревается (ведь )!

Теплоемкость в адиабатическом процессе: .

Вспомним, что адиабатическим называется процесс, проходящий без теплообмена с внешней средой, т.е. ему не передается энергия. Поэтому , и как бы не менялась температура газа, это будет происходить не из-за притока энергии извне.

Теперь рассмотрим сложные случаи…

Теплоемкость газа в изохорическом процессе: .

Изохорический – значит без изменения объема. Следовательно, газ не совершает работы (), и первое начало термодинамики выглядит так: . Тогда . Но внутренняя энергия одного моля одноатомного идеального газа равна , следовательно, её изменение с температурой будет . Подставляя это выражение в определение теплоемкости, получаем: .

Мы получили, что любой одноатомный газ при постоянном объеме имеет одну и ту же теплоемкость, равную  . Это хорошо согласуется с экспериментом.

Зависимость теплоемкости двухатомного газа при постоянном объеме от температуры.

Для двухатомного газа при нормальных условиях соответственно . Интересно, что измеряя теплоемкость двухатомного газа мы можем косвенно измерить количество степеней свободы молекул газа. График зависимости  от температуры приведен на рис. При очень низких температурах в газе существует только поступательное движение молекул, в нормальных условиях молекулы газа участвуют также во вращательном движении; при высоких температурах в газе “просыпаются” колебательные степени свободы. Почему количество степеней свободы зависит от температуры объясняет квантовая механика и мы это пропустим из-за недостатка времени.

Теплоемкость газа в изобарическом процессе: .

В изобарическом процессе постоянно давление газа (). В этом случае газ совершает работу . Тогда первое начало термодинамики запишется в виде: .

Внутренняя энергия газа зависит только от его температуры и не зависит от процесса, в котором участвует газ. Поэтому  (см. выше).

Таким образом получаем, что .

Разберемся со вторым слагаемым… Из уравнения Менделеева-Клайперона для одного моля газа получим: . Т.к. в нашем случае , мы можем вынести давление за скобки: , т.е. , или . Подставляя это в выражение для , окончательно получим: .