Урок №9 (23.11.2005)
Свойства механической работы. Мощность.

1.                  Свойства работы

Величина , называемая работой силы , – это мера действия силы, равная скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения точки ее приложения.

Если сила  не меняется на расстоянии , то работу этой силы можно записать в виде , где – угол между направлением силы и перемещения.

Работа – скаляр, т.е. это величина, имеющая знак и физическую размерность. Работа может быть положительной, отрицательной и равной нулю. Последнее возможно не только если сила или перемещение равно нулю, но и если они перпендикулярны.

В системе СИ работа измеряется в джоулях (1 Дж). Сила, равная 1 ньютону, совершает работу 1 джоуль, если под действием этой силы совершается перемещение на 1 метр в направлении действия силы.

Работа аддитивна, т.е. если на тело действуют несколько сил, то работа равнодействующей силы равна сумме работ отдельных сил:

                                   .

2.                  Консервативные и диссипативные силы.

Рассмотрим тело массы , движущееся по пути, указанному на рисунке: 1-2-3-4-1. Пусть в первом случае система координат расположена вертикально в поле силы тяжести, а во втором случае горизонтально: на столе, при этом между столом и телом сила трения равна . Посчитаем работу сил в каждом случае.

1.      Сила тяжести. В этом случае на участках 1-2 и 3-4 сила и перемещение тела перпендикулярны, поэтому на этих участках работа силы тяжести равна нулю. На участке 2-3 перемещение направлено вверх, а сила тяжести вниз, поэтому работа отрицательна: . На участке 4-1 сила и перемещение сонаправлены, поэтому работа положительна: . Складывая работы на отдельных участках, получаем, что работа силы тяжести при движении тела по пути 1-2-3-4-1 равна нулю.

2.      Сила трения. В этом случае сила всегда направлена против движения тела, поэтому работа равна произведению периметра прямоугольника, по которому движется тело, на силу трения, взятому со знаком “минус”: . Мы видим, что работа силы трения при движении тела по пути 1-2-3-4-1 не равна нулю.

Из приведенного примера видно, что работа одних сил при движении тела по замкнутому контуру равна нулю, а других – нет. Силы первого типа называются консервативными, второго – диссипативными. Как мы увидим далее, при работе диссипативных сил выделяется или поглощается тепло. Консервативные же силы к выделению тепла не приводят.

Ниже приводится эквивалентное определение консервативной силы:

Консервативная сила – это сила, работа которой не зависит от пути, по которому точка ее приложения переходит из начального положения в конечное.

Предположим тело перемещается в поле консервативной силы из точки 1 в точку 2 один раз по пути a, а другой раз по пути b. Возьмем за основу второе определение консервативной силы. Тогда работа  не зависит от пути, по которому движется тело. Образуем из путей a и b замкнутый контур – пусть тело движется из точки 1 в точку 2 по пути  a, а обратно по пути b. Тогда работа на участке b будет равна , т.к. направление движения тела меняется на противоположное, а направление силы остается прежним. Видно, что суммарная работа на участках a и b равна нулю, что и утверждает первое определение консервативной силы.

3.                  Мощность.

Отношение работы  к промежутку времени , в течение которого она совершена, называется средней мощностью  за время :

.

Предел этого отношения при  дает определение мгновенной мощности:

.

Простая формула для определения мгновенной мощности получается если вспомнить определение скорости:

                                               .

В системе СИ мощность измеряется в ваттах (1 Вт) – это мощность, развиваемая при совершении работы в 1 Дж за время 1 с.

Задача: Два автомобиля.

Два автомобиля одновременно трогаются с места и движутся равноускоренно. Массы автомобилей одинаковы.  Во сколько раз мощность двигателя первого автомобиля больше мощности второго, если за одно и то же время первый автомобиль развивает скорость вдвое большую, чем второй? Сопротивлением движению пренебречь.

Решение.

Обозначим ускорения автомобилей через  и , а скорости в произвольный момент времени через  и . По условию задачи

            ,

            ,

            .

Так как массы автомобилей одинаковы, то из второго закона Ньютона

            .

Итак, в любой момент времени сила, разгоняющая первый автомобиль, в два раза больше силы, разгоняющей второй. Но, по условию задачи, скорость первого автомобиля в произвольный момент времени также вдвое больше второго. Обозначим мощность двигателя первого автомобиля через , а второго –  через , тогда

                                               .                                                  n

Задача: Мощность горного ручья.

Горный ручей с сечением потока  образует водопад высотой . Скорость течения воды в ручье . Найти мощность водопада. Плотность воды . Считать воду текущей после водопада с той же скоростью.

Решение.

За время  масса воды  падает вниз, совершая работу . Тогда мощность ручья

                                                      .                                                         n