Урок №11 (30.11.2005)
Реактивное движение. Формула Мещерского. Потенциальная энергия в центральном поле. Потенциальная энергия в гравитационном поле Земли.

1.                  Уравнение Мещерского

Пусть у нас реактивная ракета движется со скоростью , выбрасывая при этом газы массы  за время  со скоростью  относительно ракеты. Перейдем в сопутствующую систему координат. В этой системе в данный момент скорость ракеты равна нулю, а газы выбрасываются с абсолютной скоростью . Через время  скорость ракеты окажется равной  (а масса уменьшится на массу «вылетевшего» топлива и станет равна ), а скорость газов будет .

Из закона сохранения импульса . Считаем промежуток времени настолько малым, что мы можем пренебречь величиной . Заметим, что изменение массы ракеты  равно с обратным знаком массе вытекших газов: . Получим, деля на :

или, считая промежуток очень малым

.

Относительно знака все в порядке, т.к. масса уменьшается.

В итоге получаем уравнение Мещерского:

2.                  Потенциальная энергия в центральном поле.

Теорема: центральное поле консервативно.

Для доказательства этой теоремы нам надо показать, что работа, совершаемая полем, не зависит от пути движения тела.

Определим, какую работу совершает поле для перемещения тела из точки 1 с радиусом , в точку 2, с радиусом . Для этого разобьем весь путь тела на отрезки  настолько малые, что силу на отрезке можно считать постоянной. Тогда полная работа по перемещению из точки 1 в точку 2 будет равна сумме элементарных работ , где  – это сила, действующая в точке с расстоянием  до центра поля . Обратим внимание, что сила, по определению центрального поля, направлена по радиусу, проведенному от точки . Следовательно, скалярное произведение

                                           

зависит только от радиуса и не зависит от пути, по которому двигалось тело.           n

3.                  Потенциальная энергия в поле тяготения.

Вспомним, что сила гравитационного взаимодействия определяется формулой

и, таким образом, удовлетворяет определению центрального поля. Вывод потенциальной энергии для такого поля требует знания интегрирования, поэтому приведем формулу для потенциальной энергии гравитационного поля без вывода:

,

где  – константа, не зависящая от .

Докажем, что в близи поверхности Земли эта формула переходит в формулу . Пусть , а . Здесь  – это радиус Земли, а  – ее масса. При  сила тяжести равна

,

откуда

.

На высоте

.

Используем приближенную формулу: , при :

.

Потенциальная энергия всегда определяется с точностью до константы. Для потенциальной энергии гравитационного поля константа обычно находится из условия, что , т.е. . При переходе к “земным условиям” более логично константу выбрать так, чтобы . В этом случае . В результате получаем .